Analyse et approximation par éléments finis d'équations aux dérivées partielles 2022/2023
Cours scientifique ENSTA - ANN202
Martin Vohralík

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Descriptif

Ce cours fait suite au premier cours sur les éléments finis, ANN201. Il a pour objectif de présenter quelques principes importants avancés de l'approximation numérique des équations aux dérivées partielles par la méthode des éléments finis.

Dans une première partie, on étudiera la méthode des éléments finis dite « non conforme », dont les approximations numériques se trouvent en dehors de l'espace fonctionnel de la formulation faible du problème. On introduira le concept important d'une « reconstruction conforme » et présentera l'analyse a priori et a posteriori pour l'équation de Poisson.

Une deuxième partie sera consacrée à l'approximation numérique de l'équation de Poisson par les éléments finis dites « hp » où on considère à la fois la diminution de la taille maximale de maillage h et l'augmentation du degré polynomial p.

Dans une troisième partie, deux exemples en dehors de problèmes stationnaires linéaires seront considérés : l'équation elliptique non linéaire avec un opérateur de diffusion fortement monotone et continu Lipschitz et l'équation instationnaire parabolique de la chaleur. Analyse a priori pour les éléments finis sera menée.

La mise en œuvre informatique fera le contenu de deux séances de travaux pratiques sur ordinateur.

Objectifs
Être capable :

• de manipuler et analyser les méthodes des éléments finis avancées de type « non conforme » ou « hp » ;
• de maîtriser les grands principes des analyses a priori et a posteriori ;
• d'appliquer la méthode des éléments finis à des problèmes non linéaires et instationnaires.

Format
7 blocs de 3h, vendredi matin
cours magistraux (CM), travaux dirigés en petites classes (TD), travaux pratiques (projets) sur ordinateur (TP)

	27/01	03/02	10/02	17/02	24/02	10/03	17/03
salle	1226	1226	1315	1315	1315	1315	1213
09h00–10h30	CM	CM	CM	CM	CM	CM	09h00–11h00   Examen
10h45–12h15	TD1	TD2	TP1	TP1	TP1	TP2	11h15–12h15   Cours d'overture

Notation
examen écrit (60%), contrôle continu (40%)

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Programme détaillé

1. La méthode des éléments finis « non conforme »
• problème de Dirichlet pour l'équation de Poisson (diffusion linéaire stationnaire): trouver \(u: \Omega \to \mathbb{R}\) telle que \begin{alignat}{2} - \Delta u & = f \qquad & & \text{ dans } \Omega, \\ u & = 0 & & \text{ sur } \partial \Omega \end{alignat}
• formulation faible: trouver \(u \in H^1_0(\Omega)\) telle que \[ \int_\Omega \nabla u {\cdot} \nabla v = \int_\Omega f v \qquad \forall v \in H^1_0(\Omega) \]
• maillage \(\mathcal{T}_h\): partition de \(\Omega\) en simplices de taille maximale \(h\)
• degré de polynôme \(p \geq 1\)
• espace d'approximation \(V_h\): polynômes par morceaux sur \(\mathcal{T}_h\) avec contrainte de continuité allégée
• \(V_h\) non conforme, \(V_h \not \subset H^1_0(\Omega)\)
• éléments finis non conformes: trouver \(u_h \in V_h\) telle que \[ \int_\Omega \nabla u_h {\cdot} \nabla v_h = \int_\Omega f v_h \qquad \forall v_h \in V_h \]
• inégalité de Poincaré–Friedrichs discrète
• existence et unicité de \(u_h\)
• estimations d'erreur a priori dans la norme d'énergie de forme \[ \|\nabla (u - u_h)\| \leq C h^p \]
• adéquation de la méthode: l'erreur tend vers zéro pour \(h \to 0\)
• pour chaque \(p\) fixé, le taux de convergence est d'ordre \(p\)
• pour \(p = 1\), dimension deux d'espace, le domaine \(\Omega\) un carré d'unité et un maillage régulier par triangles, il y à peu près \(\text{DoF}=1/h^2\) degrés de liberté, si bien que, dans ce cas \[ \|\nabla (u - u_h)\| \leq C \frac{1}{\text{DoF}^{1/2}} \]
• le taux de convergence est donc algébrique en termes de degrés de liberté
2. Reconstruction « conforme »
• \(v_h \in V_h\): polynôme par morceaux sur \(\mathcal{T}_h\) avec contrainte de continuité allégée, \(v_h \not \in H^1_0(\Omega)\)
• reconstruction conforme \(s_h\): polynôme par morceaux sur \(\mathcal{T}_h\) inclus dans \(H^1_0(\Omega)\)
• \(s_h\) construit localement à partir de \(v_h\)
• à une constante près, \(s_h\) est plus proche à \(v_h\) que toute fonction \(s\) de \(H^1_0(\Omega)\): \[ \|\nabla (v_h - s_h)\| \leq C \|\nabla (v_h - s)\| \qquad \forall s \in H^1_0(\Omega) \]
• propriété presque magique: \(s_h\), de dimension finie, est aussi bien que toute \(s\) de dimension infinie
3. Estimations d'erreur a posteriori
• problème de Dirichlet pour l'équation de Poisson, solution faible \(u \in H^1_0(\Omega)\)
• égalité de Prager–Synge: pour tout \(u_h \in H^1_0(\Omega)\), l'erreur dans la norme d'énergie est caractérisée par \[ \|\nabla (u - u_h)\| = \min_{\boldsymbol{\sigma} \in \boldsymbol{H}(\mathrm{div}, \, \Omega), \, \nabla {\cdot} \boldsymbol{\sigma} = f} \|\nabla u_h + \boldsymbol{\sigma}\| \]
• égalité de Prager–Synge généralisée: pour tout \(u_h \in V_h\) avec contrainte de continuité allégée, \(u_h \not \in H^1_0(\Omega)\), l'erreur dans la norme d'énergie est caractérisée par \[ \|\nabla (u - u_h)\|^2 = \min_{\boldsymbol{\sigma} \in \boldsymbol{H}(\mathrm{div}, \, \Omega), \, \nabla {\cdot} \boldsymbol{\sigma} = f} \|\nabla u_h + \boldsymbol{\sigma}\|^2 + \min_{s \in H^1_0(\Omega)} \|\nabla (u_h - s)\|^2 \]
• prennant la reconstruction conforme \(s_h\) pour \(s\) et un convenable \(\boldsymbol{\sigma}_h\) pour \(\boldsymbol{\sigma}\), on a alors
\[ \|\nabla (u - u_h)\|^2 \leq \underbrace{\|\nabla u_h + \boldsymbol{\sigma}_h\|^2 + \|\nabla (u_h - s_h)\|^2}_{\eta^2(u_h)} \]
• \(\eta(u_h)\): estimateur entièrement calculable à partir de \(u_h\)
• c'est un estimateur équivalent à l'erreur: à une constante près, il est aussi vrai que \[ \eta(u_h) \leq C \|\nabla (u - u_h)\| \]
• détermination de la qualité d'approximation numérique: \(\eta(u_h)\) permet de contrôler l'erreur
• TP sur ordinateur : la méthode des éléments finis « non conforme », reconstruction conforme, estimations d'erreur a posteriori
4. Approximation « \(hp\) »
• problème de Dirichlet pour l'équation de Poisson, solution faible \(u \in H^1_0(\Omega)\)
• maillage \(\mathcal{T}_h\) de \(\Omega\), degré de polynôme \(p \geq 1\)
• espace d'approximation \(V_{hp}\): polynômes par morceaux de degré \(p\) sur \(\mathcal{T}_h\) continus, \(V_{hp} \subset H^1_0(\Omega)\)
• éléments finis \(hp\): trouver \(u_{hp} \in V_{hp}\) telle que \[ \int_\Omega \nabla u_{hp} {\cdot} \nabla v_{hp} = \int_\Omega f v_{hp} \qquad \forall v_{hp} \in V_{hp} \]
• simultanément: diminution de la taille maximale de maillage \(h\) et l'augmentation du degré polynomial \(p\)
• estimations d'erreur a priori dans la norme d'énergie de forme \[ \|\nabla (u - u_{hp})\| \leq C \Big(\frac{h}{p}\Big)^p \]
• en dimension deux d'espace, on a en particulier \[ \|\nabla (u - u_{hp})\| \leq C_1 \frac{1}{e^{C_2 \text{DoF}^{1/3}}} \]
• le taux de convergence est donc exponentiel en termes de degrés de liberté
5. L'équation elliptique non linéaire, théorème de point fixe de Banach
• diffusion non linéaire stationnaire \begin{alignat}{2} - \nabla {\cdot} A(\nabla u) & = f \qquad & & \text{ dans } \Omega, \\ u & = 0 & & \text{ sur } \partial \Omega \end{alignat}
• opérateur \(A\) non linéaire, fortement monotone et continu Lipschitz
• formulation faible: trouver \(u \in H^1_0(\Omega)\) telle que \[ \int_\Omega A(\nabla u) {\cdot} \nabla v = \int_\Omega f v \qquad \forall v \in H^1_0(\Omega) \]
• existence et unicité de \(u\) par le théorème de point fixe de Banach
• maillage \(\mathcal{T}_h\) de \(\Omega\), degré de polynôme \(p \geq 1\)
• éléments finis conformes: trouver \(u_h \in V_h \subset H^1_0(\Omega)\) telle que \[ \int_\Omega A(\nabla u_h) {\cdot} \nabla v_h = \int_\Omega f v_h \qquad \forall v_h \in V_h \]
• existence et unicité de \(u_h\)
• estimations d'erreur a priori dans la norme d'énergie de forme \[ \|\nabla (u - u_h)\| \leq C h^p, \] où la constante \(C\) dépend en plus sur la non linéarité de \(A\)
• le taux de convergence est donc similaire au problème linéaire
6. La méthode des éléments finis pour l'équation instationnaire parabolique de la chaleur
• l'équation de la chaleur (diffusion linéaire instationnaire) \begin{alignat}{2} \partial_t u - \Delta u & = f \qquad & & \text{ dans } \Omega \times (0,T), \\ u & = 0 & & \text{ sur } \partial \Omega \times (0,T),\\ u (\cdot, 0) & = u_0 & & \text{ dans } \Omega \end{alignat}
• formulation faible: trouver \(u \in L^2(0,T;H^1_0(\Omega)) \cap H^1(0,T;H^{-1}(\Omega)) \) telle que \(u (\cdot, 0) = u_0\) et \[ \int_0^T \langle \partial_t u, v \rangle + \int_0^T \int_\Omega \nabla u {\cdot} \nabla v = \int_0^T \int_\Omega f v \qquad \forall v \in L^2(0,T;H^1_0(\Omega)) \]
• existence et unicité de \(u\)
• maillage \(\mathcal{T}_h\) de \(\Omega\) avec taille maximale \(h\), degré de polynôme \(p \geq 1\)
• \(N\) intervals en temps \(I_n\) de longueur maximale \(\tau\), degré de polynôme \(q \geq 0\)
• espace d'approximation \(V_{h\tau}\): polynômes par morceaux de degré \(p\) continus en espace, polynômes par morceaux de degré \(q\) discontinus en temps
• \(V_{h\tau} \subset L^2(0,T;H^1_0(\Omega))\) mais \(V_{h\tau} \not \subset H^1(0,T;H^{-1}(\Omega))\)
• éléments finis: trouver \(u_{h\tau} \in V_{h\tau}\) telle que \(u_{h\tau} (\cdot, 0) = u_0\) et \[ \int_{I_n} \int_\Omega \partial_t I u_{h\tau} v_{h\tau} + \int_{I_n} \int_\Omega \nabla u_{h\tau} {\cdot} \nabla v_{h\tau} = \int_{I_n} \int_\Omega f v_{h\tau} \qquad \forall v_{h\tau} \in V_{h\tau}|_{I_n}, \quad \forall 1 \leq n \leq N \]
• réconstruction conforme \(I u_{h\tau} \in H^1(0,T;H^{-1}(\Omega))\)
• existence et unicité de \(u_{h\tau}\)
• estimations d'erreur a priori dans la norme d'énergie de forme \[ \Big(\int_{I_n} \|\nabla (u - u_{h\tau})\|^2 \Big)^{1/2} \leq C (h^p + \tau^{q+1}) \]
• le taux de convergence est donc combiné de \(p\) et \(q+1\)

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Polycopié du cours

mise à jour le 24/02/2023

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Présentation a priori, a posteriori et hp

presentation

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Travaux dirigés

TD1 avec corrigé
TD2 avec corrigé

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Travaux pratiques sur ordinateur

travail en groupe autorisé, rapport et code individuel ou par binôme


Projet   à rendre pour le 24/03/2023

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Examen

2 heures, aucun document, appareil électronique ou aide extérieure (donner tout détail et justifier rigoureusement)


exemple d'examen de 2021

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