Analyse et approximation par éléments finis d'équations aux dérivées partielles Martin Vohralík

Analyse et approximation par éléments finis d'équations aux dérivées partielles 2024/2025
Cours scientifique ENSTA - ANN202
Martin Vohralík

Descriptif

Ce cours fait suite au premier cours sur les éléments finis, ANN201. Il a pour objectif de présenter quelques principes importants avancés de l'approximation numérique des équations aux dérivées partielles par la méthode des éléments finis.

Dans une première partie, on présentera l'analyse a priori « classique » de la méthode des éléments finis dite « non conforme » pour l'équation de Poisson. Ici, les approximations numériques se trouvent en dehors de l'espace fonctionnel de la formulation mathématique (faible) du problème. L'analyse est « classique » car le degré de polynôme p est uniforme (le même partout dans le domaine du calcul) est fixé (n'évolue pas) et le raffinement de maillage est uniforme (le pas de maillage h est approximativement le même partout dans le domaine du calcul). Ceci permet une décroissance optimale d'erreur entre la solution numérique et la solution de l'équation aux dérivées partielles en fonction du pas de maillage h si la solution d'EDP est suffisamment régulière par rapport au degré de polynôme p.

Une deuxième partie sera consacrée à l'analyse a posteriori et adaptivité de maillage. L'analyse a posteriori permet un premier miracle : on peut estimer l'erreur entre la solution numérique (connue) et la solution de l'EDP (inconnue) par un estimateur entièrement calculable. On peut ainsi certifier le résultat de la simulation numérique. Pour y parvenir dans le contexte des éléments finis non conformes, on introduira le concept important d'une « reconstruction conforme » (contenue dans l'espace fonctionnel de la formulation mathématique), ainsi que d'un « flux équlibré ». L'adaptivité de maillage profite ensuite de l'information locale des estimateurs a posteriori pour consacrer d'avantage d'effort dans les parties « problématiques » du domaine du calcul. Ceci permet un deuxième miracle : l'erreur entre la solution numérique et la solution inconnue d'EDP va décroitre de façon optimale en fonction du nombre des degrés de liberté (taille du système linéaire) même si la solution n'est pas suffisamment régulière, et ceci pour tout degré (fixe) de polynôme p.

Une troisième partie sera consacrée à l'approximation numérique de l'équation de Poisson par les éléments finis conformes dites « hp », où on considère à la fois la diminution de la taille maximale de maillage h et l'augmentation du degré polynomial p (p n'est plus fixé). Si d'abord h et p sont uniformes, l'analyse permet obtenir une borne d'erreur optimale à la fois en fonction de h et de p. Puis, avec une variation locale du pas de maillage h et du degré de polynôme p, on obtient un troisième miracle : l'erreur va décroitre de façon exponentielle en fonction du nombre des degrés de liberté, même si la solution n'est pas suffisamment régulière.

Dans une quatrième et dernière partie, deux exemples en dehors de problèmes stationnaires linéaires seront considérés : l'équation elliptique non linéaire avec un opérateur de diffusion fortement monotone et continu Lipschitz et l'équation de la chaleur (instationnaire parabolique linéaire). Analyse a priori « classique » pour les éléments finis confomes sera décrite.

La mise en œuvre informatique fera le contenu d'un projet informatique sur ordinateur.

Objectifs
Etre capable :

de manipuler et analyser les méthodes des éléments finis avancées de type « non conforme », « adaptives » et « hp » ;
de maîtriser les grands principes des analyses a priori et a posteriori ;
d'appliquer la méthode des éléments finis à des problèmes non linéaires et instationnaires.

Format
7 blocs de 3h, vendredi matin
cours magistraux (CM), travaux dirigés en petites classes (TD), projet informatique sur ordinateur (TP)

	07/02	14/02	21/02	07/03	14/03	21/03	28/03
salle	1323	1315	en ligne	2413	2413	2413	1412

09h00–10h30	CM	CM	CM	CM	CM	CM	09h00–11h00 Examen
10h45–12h15	TD1	TD2	TP	TP	TP	TP	11h15–12h15 Cours d'overture

Notation
examen écrit (60%), projet informatique sur ordinateur (40%)

Programme détaillé

L'analyse a priori classique de la méthode des éléments finis « non conforme »

domaine du calcul \(\Omega \subset \mathbb{R}^d\), \(d=1,2,3\)
problème de Dirichlet pour l'équation de Poisson (diffusion linéaire stationnaire): trouver \(u: \Omega \to \mathbb{R}\) telle que \begin{alignat}{2} - \Delta u & = f \qquad & & \text{ dans } \Omega, \\ u & = 0 & & \text{ sur } \partial \Omega \end{alignat}
formulation faible: trouver \(u \in H^1_0(\Omega)\) telle que \[ \int_\Omega \nabla u {\cdot} \nabla v = \int_\Omega f v \qquad \forall v \in H^1_0(\Omega) \]
maillage \(\mathcal{T}_h\): partition de \(\Omega\) en simplices (intervalles/triangles/tétraèdres) de taille maximale \(h\)
degré de polynôme \(p \geq 1\)
espace d'approximation \(V_h\): polynômes par morceaux sur \(\mathcal{T}_h\) avec contrainte de continuité allégée
\(V_h\) non conforme, \(V_h \not \subset H^1_0(\Omega)\)
éléments finis non conformes: trouver \(u_h \in V_h\) telle que \[ \int_\Omega \nabla u_h {\cdot} \nabla v_h = \int_\Omega f v_h \qquad \forall v_h \in V_h \]
inégalité de Poincaré–Friedrichs discrète
existence et unicité de \(u_h\)
estimations d'erreur a priori dans la norme d'énergie de forme, si \(u\) possède la régularité \(H^{p+1}(\Omega)\), \[ \|\nabla (u - u_h)\| \leq C h^p \]
adéquation de la méthode: l'erreur tend vers zéro pour \(h \to 0\)
pour chaque \(p\) fixé, le taux de convergence est d'ordre \(p\)
cette façon de procéder « classique » utilise:

le degré de polynôme p uniforme (le même partout dans le domaine du calcul) et fixe (n'évolue pas pendant le rafinement)
raffinement de maillage est uniforme (le pas de maillage h est approximativement le même partout dans le domaine du calcul)

sous ces deux conditions, si \(u\) possède la régularité \(H^{p+1}(\Omega)\), l'estimation ci-dessus est optimale en fonction de h (mais pas en fonction de p)
pour \(p = 1\), dimension deux d'espace (\(d=2\)), le domaine \(\Omega\) un carré d'unité et un maillage uniforme par triangles, il y a à peu près \(\text{DoF}=1/h^2\) degrés de liberté, si bien que, dans ce cas, si \(u\) possède la régularité \(H^2(\Omega)\), \[ \|\nabla (u - u_h)\| \leq C \frac{1}{\text{DoF}^{1/2}} \]
en général, pour un maillage uniforme, si \(u\) possède la régularité \(H^{p+1}(\Omega)\), \[ \|\nabla (u - u_h)\| \leq C \frac{1}{\text{DoF}^{p/d}} \]
le taux de convergence est donc algébrique en termes de degrés de liberté, et ceci seulement si \(u\) est suffisamment régulière (ce qui est plutôt rare dans la pratique)
cette façon de procéder et analyser classique est donc optimale seulement quand la solution d'EDP est suffisamment régulière, quand h et uniforme et quand le degré de polynôme n'est pas trop élevé

Reconstruction du potentiel en \(H^1_0(\Omega)\)

\(v_h \in V_h\): polynôme par morceaux sur \(\mathcal{T}_h\) avec contrainte de continuité allégée, \(v_h \not \in H^1_0(\Omega)\)
reconstruction \(s_h\) du potentiel conforme en \(H^1_0(\Omega)\) : polynôme par morceaux sur \(\mathcal{T}_h\) inclus dans \(H^1_0(\Omega)\)
\(s_h\) construit localement à partir de \(v_h\)
à une constante près, \(s_h\) est plus proche à \(v_h\) que toute fonction \(s\) de \(H^1_0(\Omega)\): \[ \|\nabla (v_h - s_h)\| \leq C \|\nabla (v_h - s)\| \qquad \forall s \in H^1_0(\Omega) \]
propriété magique: \(s_h\), de dimension finie, est aussi bien que le meilleur \(s\) de dimension infinie
va être utilisé plus bas pour les estimations d'erreur a posteriori et adaptivité de maillage

Reconstruction du flux en \(\boldsymbol{H}(\mathrm{div}, \, \Omega)\)

solution éléments finis non conformes \(u_h \in V_h\) est tel que, typiquement, \(- \nabla u_h \not \in \boldsymbol{H}(\mathrm{div}, \, \Omega)\)
reconstruction \(\boldsymbol{\sigma}_h\) du flux conforme en \(\boldsymbol{H}(\mathrm{div}, \, \Omega)\) : polynôme par morceaux sur \(\mathcal{T}_h\) inclus dans \(\boldsymbol{H}(\mathrm{div}, \, \Omega)\)
\(\boldsymbol{\sigma}_h\) construit localement à partir de \(- \nabla u_h\)
à une constante près, \(\boldsymbol{\sigma}_h\) est plus proche à \(- \nabla u_h\) que la solution faible \(u \in H^1_0(\Omega)\) de l'EDP: \[ \|\nabla u_h + \boldsymbol{\sigma}_h\| \leq C \|\nabla (u - u_h)\| \ \]
va être utilisé plus bas pour les estimations d'erreur a posteriori et adaptivité de maillage

Estimations d'erreur a posteriori

problème de Dirichlet pour l'équation de Poisson, solution faible \(u \in H^1_0(\Omega)\)
égalité de Prager–Synge: pour tout \(u_h \in H^1_0(\Omega)\), l'erreur dans la norme d'énergie est caractérisée par \[ \|\nabla (u - u_h)\| = \min_{\boldsymbol{\sigma} \in \boldsymbol{H}(\mathrm{div}, \, \Omega), \, \nabla {\cdot} \boldsymbol{\sigma} = f} \|\nabla u_h + \boldsymbol{\sigma}\| \]
égalité de Prager–Synge généralisée: pour tout \(u_h \in V_h\) avec contrainte de continuité allégée, \(u_h \not \in H^1_0(\Omega)\), l'erreur dans la norme d'énergie est caractérisée par \[ \|\nabla (u - u_h)\|^2 = \min_{\boldsymbol{\sigma} \in \boldsymbol{H}(\mathrm{div}, \, \Omega), \, \nabla {\cdot} \boldsymbol{\sigma} = f} \|\nabla u_h + \boldsymbol{\sigma}\|^2 + \min_{s \in H^1_0(\Omega)} \|\nabla (u_h - s)\|^2 \]
prennant la reconstruction du potentiel \(s_h\) pour \(s\) et la reconstruction du flux \(\boldsymbol{\sigma}_h\) pour \(\boldsymbol{\sigma}\), on a alors
\(\eta(u_h)\): estimateur entièrement et localement calculable à partir de \(u_h\)
c'est un estimateur même équivalent à l'erreur: à une constante près, il est aussi vrai que \[ \eta(u_h) \leq C \|\nabla (u - u_h)\| \]
détermination de la qualité d'approximation numérique: \(\eta(u_h)\) permet de certifier l'erreur

Adaptivité de maillage

estimateur d'erreur pour chaque simplexe \(K \in \mathcal{T}_h\): \[ \eta^2_K(u_h) = \|\nabla u_h + \boldsymbol{\sigma}_h\|_K^2 + \|\nabla (u_h - s_h)\|^2_K \]
on ne raffine pas \(\mathcal{T}_h\) partout mais seulement là où les estimateurs \(\eta_K(u_h)\) sont grands (on consacre l'effort seulement là où il faut)
maillages non uniformes: \(h\) ne donne plus trop de sens (certaines mailles peuvent jamais être raffinées)
la norme d'énergie décroit comme \[ \|\nabla (u - u_h)\| \leq C \frac{1}{\text{DoF}^{p/d}} \]
le taux de convergence est donc algébrique en termes de degrés de liberté toujours, \(u \in H^1_0(\Omega)\) suffit, pas de nécessité de régularité élevée
cette façon de procéder et analyser adaptive est donc optimale indépendamment de la régularité de la solution \(u\) de l'EDP, pour tout degré de polynôme p fixe
projet informatique sur ordinateur : la méthode des éléments finis « non conforme », estimations d'erreur a priori, reconstruction du potentiel, reconstruction du flux, estimations d'erreur a posteriori, adaptivité de maillage, convergence optimale indépendamment de la régularité de la solution \(u\) de l'EDP

Approximation « \(hp\) »

problème de Dirichlet pour l'équation de Poisson, solution faible \(u \in H^1_0(\Omega)\)
maillage \(\mathcal{T}_h\) de \(\Omega\), degré de polynôme \(p \geq 1\)
espace d'approximation \(V_{hp}\): polynômes par morceaux de degré \(p\) sur \(\mathcal{T}_h\) continus, \(V_{hp} \subset H^1_0(\Omega)\)
éléments finis \(hp\): trouver \(u_{hp} \in V_{hp}\) telle que \[ \int_\Omega \nabla u_{hp} {\cdot} \nabla v_{hp} = \int_\Omega f v_{hp} \qquad \forall v_{hp} \in V_{hp} \]
simultanément: diminution de la taille maximale de maillage \(h\) et l'augmentation du degré polynomial \(p\)
estimations d'erreur a priori dans la norme d'énergie de forme, si \(u\) possède la régularité \(H^{p+1}(\Omega)\), \[ \|\nabla (u - u_{hp})\| \leq C \Big(\frac{h}{p}\Big)^p \]
c'est une estimation optimale en fonction de \(h\) et de \(p\)
en dimension deux d'espace, on peut en particulier:

employer le degré de polynôme p non uniforme (différent dans des différentes parties du domaine du calcul) et variable (évolutif pendant le rafinement)
raffinement de maillage non uniforme (ajusté aux besoins)
\(h\) et \(p\) déterminés par des estimateurs d'erreur a posteriori
cela donne \[ \|\nabla (u - u_{hp})\| \leq C_1 \frac{1}{e^{C_2 \text{DoF}^{1/3}}} \]

le taux de convergence est donc exponentiel en termes de degrés de liberté
la puissance extrême maximale disponible des éléments finis

L'équation elliptique non linéaire, théorème de point fixe de Banach

diffusion non linéaire stationnaire \begin{alignat}{2} - \nabla {\cdot} A(\nabla u) & = f \qquad & & \text{ dans } \Omega, \\ u & = 0 & & \text{ sur } \partial \Omega \end{alignat}
opérateur \(A\) non linéaire, fortement monotone et continu Lipschitz
formulation faible: trouver \(u \in H^1_0(\Omega)\) telle que \[ \int_\Omega A(\nabla u) {\cdot} \nabla v = \int_\Omega f v \qquad \forall v \in H^1_0(\Omega) \]
existence et unicité de \(u\) par le théorème de point fixe de Banach
maillage \(\mathcal{T}_h\) de \(\Omega\), degré de polynôme \(p \geq 1\)
éléments finis conformes: trouver \(u_h \in V_h \subset H^1_0(\Omega)\) telle que \[ \int_\Omega A(\nabla u_h) {\cdot} \nabla v_h = \int_\Omega f v_h \qquad \forall v_h \in V_h \]
existence et unicité de \(u_h\)
estimations d'erreur classiques a priori dans la norme d'énergie de forme, si \(u\) possède la régularité \(H^{p+1}(\Omega)\), \[ \|\nabla (u - u_h)\| \leq C h^p, \] où la constante \(C\) dépend en plus de la non linéarité de \(A\)
le taux de convergence est donc similaire au problème linéaire

La méthode des éléments finis pour l'équation instationnaire parabolique de la chaleur

l'équation de la chaleur (diffusion linéaire instationnaire) \begin{alignat}{2} \partial_t u - \Delta u & = f \qquad & & \text{ dans } \Omega \times (0,T), \\ u & = 0 & & \text{ sur } \partial \Omega \times (0,T),\\ u (\cdot, 0) & = u_0 & & \text{ dans } \Omega \end{alignat}
formulation faible: trouver \(u \in L^2(0,T;H^1_0(\Omega)) \cap H^1(0,T;H^{-1}(\Omega)) \) telle que \(u (\cdot, 0) = u_0\) et \[ \int_0^T \langle \partial_t u, v \rangle + \int_0^T \int_\Omega \nabla u {\cdot} \nabla v = \int_0^T \int_\Omega f v \qquad \forall v \in L^2(0,T;H^1_0(\Omega)) \]
existence et unicité de \(u\)
maillage \(\mathcal{T}_h\) de \(\Omega\) avec taille maximale \(h\), degré de polynôme \(p \geq 1\)
\(N\) intervals en temps \(I_n\) de longueur maximale \(\tau\), degré de polynôme \(q \geq 0\)
espace d'approximation \(V_{h\tau}\): polynômes par morceaux de degré \(p\) continus en espace, polynômes par morceaux de degré \(q\) discontinus en temps
\(V_{h\tau} \subset L^2(0,T;H^1_0(\Omega))\) mais \(V_{h\tau} \not \subset H^1(0,T;H^{-1}(\Omega))\)
éléments finis: trouver \(u_{h\tau} \in V_{h\tau}\) telle que \(u_{h\tau} (\cdot, 0) = u_0\) et \[ \int_{I_n} \int_\Omega \partial_t I u_{h\tau} v_{h\tau} + \int_{I_n} \int_\Omega \nabla u_{h\tau} {\cdot} \nabla v_{h\tau} = \int_{I_n} \int_\Omega f v_{h\tau} \qquad \forall v_{h\tau} \in V_{h\tau}|_{I_n}, \quad \forall 1 \leq n \leq N \]
réconstruction conforme \(I u_{h\tau} \in H^1(0,T;H^{-1}(\Omega))\)
existence et unicité de \(u_{h\tau}\)
estimations d'erreur a priori classiques dans la norme d'énergie de forme, si \(u\) possède la régularité suffisante, \[ \Big(\int_{I_n} \|\nabla (u - u_{h\tau})\|^2 \Big)^{1/2} \leq C (h^p + \tau^{q+1}) \]
le taux de convergence est donc combiné de \(p\) et \(q+1\)

Polycopié du cours

version du 20/03/2025

présentation en ligne du 21/02/2025

Présentation a priori, a posteriori et hp

presentation

Travaux dirigés

TD1 avec corrigé

TD2 avec corrigé

Projet informatique sur ordinateur

à l'aide du logiciel libre FreeFEM et du logiciel libre Gnuplot pour des graphes
projet

script

travail en groupe autorisé, code individuel ou par binôme, rapport individuel ou par binôme, à rendre pour le 04/04/2025

Examen

2 heures, aucun document, appareil électronique ou aide extérieure (donner tout détail et justifier rigoureusement)

exemple d'examen de 2021